Jedno Zadanie Dziennie

Funkcja

Jedno Zadanie Dziennie

Jedno Zadanie Dziennie publikować będzie interesujące i czasami nie całkiem łatwe zadania, które mogą pomóc w przygotowywaniu się do egzaminu z Analizy I R. Rozwiązywać można sobie do szuflady, albo oddawać do sprawdzenia. Za największą liczbę oddanych rozwiązań przewidziane są nagrody!

Od czasu do czasu publikować będę także rozwiązania zadań. Żeby oddane rozwiązanie liczyło się w walce o nagrody powinno do mnie trafić przed opublikowaniem oficjalnej wersji.

Prawdopodobnie od czasu do czasu Wasze rozwiązania będą ciekawsze niż moje. Będe je także publikować, za zgodą autora.

Piątkowe zadanie świateczne / Friday Christmas problem

Ostatnie w w tym roku zadnie swiateczne jest jak powrót do dzieciństwa. Znów jesteśmy na pierwszym roku, zaczyna się semestr, nowi ludzie dookoła, nowe zajęcia, nowe zadania i całkiem nowe liczby. Zespolone liczby! Bawcie się dobrze!

Czwartkowe zadanie świąteczne / Thursday Christmas problem

Czwarte zadanie świateczne to wspomnienie z naszego międzywydziałowego turnieju całkowania. W archiwalnym pliku znajdowało się w kategorii „trudne”. Ale co jest trudne, kiedy stoi się pod tablicą, ma się 5 minut na całkę, wszyscy patrzą a komentatorzy wygłaszają kąśliwe uwagi, może okazać się całkiem zjadliwe w domu, z kartką, ołówkiem i kubkiem herbaty.

Wielki Turniej Całkowania bywa zazwyczaj w marcu. Może trzeba zacząć ćwiczyć?

Środowe zadanie swiateczne / Wednesday Christmas problem

Dzisiejsze zadanie świąteczne to zdecydowanie klasyka gatunku. Za każdym zakrętem Internetu można zapewne znaleźć przynajmniej jeden sposób radzenia sobie z tym ciągiem. Zanim jednak zaczniecie googlować albo wdacie się w matematyczną pogawędkę z ChatemGPT lub innym krzemowym przyjacielem, spróbujcie czy z problemem pradzi sobie białkowa sieć neuronalna w Waszej głowie.

A kiedy już będzie wiadomo „jak jest”, można sprawdzić kim jest facet w czapce Mikołaja na rysunku.

To zadanie zawdzięczamy doktorantowi panu Bartkowi Bąkowi. Redakcja JZD kłania się nisko.

Wtorkowe zadanie świąteczne / Tuesday Christmas problem

Jeśli dziś wtorek, to pora na zadanie z archiwum Grzesia Cieciury. Na tablicy po wykladzie z algebry zostały permutacje, a to znaczy że do wyznaczników już jeden kroczek. A może już były?

Zadania Grzesia z algebry bywały zaskakujące, ale pełną siłę rażenia miały dopiero serie zadań z analizy!!! Podobno w zamierzchłej przeszłości bywali tacy studenci, którzy rozwiazali je wszystkie. Podobno…

Po rozwiązaniu dzisiejszego zadania z wyznaczników możecie spóbować swoich sił w takiej zabawie. Na poniższym zdjęciu jest pierwsza trzynastka z 27 zadań domowych z rachunku różniczkowego.

Poniedziałkowe zadanie świąteczne / Monday Christmas problem

Byli i obecni uczestnicy kursu „Analiza I” są świetnie zaznajomieni z problemem badania zbieżności ciągu zdefiniowanego rekurencyjnie, zwłaszcza jeśli rekurencją rządzi homografia. Uczestnicy kursu „Algebra liniowa z geometrią” umieją także zwijać rekurencje liniowe (obecni uczestnicy być może muszą poczekać do przyszłego semestru albo zajrzeć do jakiegoś źródła wiedzy). A co by było, gdybyśmy połączyli obie przyjemności: zagadnienie zwijania rekurencji z ciągami definiowanymi przez homografię? Oto pierwsze w tym sezonie zadanie świąteczne!

Piąte zadanie świąteczne / Fifth Christmas problem

JZD 2024

Pora na piąte zadanie świąteczne – żarty się skończyły. Na scenę wkracza rachunek niepewności pomiarowych, statystyka czy jak to się tam nazywa.

Każdy bywalec pracowni wie zapewne że jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną $\mu$ i wariancją $\sigma^2$ , to średnia z próby $n$ -elementowej też ma rozkład normalny z tą samą wartością oczekiwaną i wariancją $\sigma^2\slash n$ . A jak się nie zna tej wariancji, to się potrzebuje nieobciążony estymator wariancji $s^2$ . Wiadomo (?) też, że $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ rozkład $\chi^2$ z $(n-1)$ stopniami swobody.

A dlaczego? A jak zapytasz, to Ci powiedzą, że to jest suma kwadratów $n$ zmiennych o rozkładzie normalnym, tyle że zwiazanych jednym równaniem – stąd stopni swobody jest $n-1$ a nie $n$ . I to w sumie nawet będzie jakoś prawda, tyle że jak zaczniesz to sam liczyć, to się natkniesz na macierz $n\times n$ co to ją trzeba zdiagonalizować. No i to waśnie jest nasze piąte zadanie swiąteczne. Wartości własne poproszę!

It’s time for the fifth Christmas challenge—no more jokes. Enter the stage: uncertainty analysis, statistics, or whatever you’d like to call it.

Anyone familiar with the students laboratory probably knows that if a random variable follows a normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$ , then the mean of an $n$ -element sample also follows a normal distribution with the same mean but variance $\sigma^2\slash n$ . And if the variance isn’t known, you need an unbiased estimator of the variance, $s^2$ . It’s also (presumably?) known that $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ follows a $\chi^2$ distribution with $(n-1)$ degrees of freedom.

But why? If you ask, they’ll tell you that it’s the sum of the squares of normally distributed variables, except those variables are subject to one equation—hence there are $n-1$ degrees of freedom instead of $n$ . And that’s more or less true. However, when you start calculating this for yourself, you’ll encounter an $n\times n$ matrix that needs to be diagonalized. And that, my friends, is our fifth Christmas challenge. I’d like the eigenvalues, please!

Czwarte zadanie świąteczne / Fourth Christmas problem

JZD 2024

W naszej serii zadań swiątecznych nie może zabraknąć zadania z archiwum Grzesia Cieciury. Grześ był z dzisiejszego punktu widzenia nauczycielem staroświeckim. Nie organizował urozmaicających zajęcia quizów ani nie zamieniał swoich ćwiczeń w grę terenową, ale jakoś tak się składało, że jego grupa był zawsze dwa razy większa niż pozostałe, a na konsultacje przed kolokwium przychodził prawie cały rok. Grześ miał nieograniczoną cierpliwość i nieograniczone zasoby zadań na każdy temat. Miał też jeden problem: z jednej strony uważał, że student aby otrzymać ocenę pozytywną powinien jednak być nauczony, a z drugiej strony miał bardzo dobre serce i nie lubił stawiać dwój. Nieudany egzamin u Grzesia kończył się więc glębokim westchnieniem i propozycją „może pan/pani przyjdzie za tydzień … ?”

Mam nadzieje że mniej niż tydzień zajmie Wam dzisiejsze, czwarte już zadanie swiąteczne.

In our series of Christmas challenges, we couldn’t miss a problem from the archives of Grześ Cieciura. From today’s perspective, Grześ would be considered an old-fashioned teacher. He didn’t organize quizzes to spice up his classes, nor did he turn his exercises into a scavenger hunt. Yet, somehow, his group was always twice as large as the others, and before exams, almost the entire year would show up to his office hours.

Grześ had endless patience and an unlimited supply of problems on any topic. He also had one dilemma: on the one hand, he believed that students should truly learn the material to earn a passing grade; on the other hand, he had a very kind heart and didn’t like giving failing marks. A failed exam with Grześ usually ended with a deep sigh and the suggestion, “Maybe you could come back next week…?”

I hope it will take you less than a week to solve the fourth Christmas challenge!

Trzecie zadanie świąteczne / Third Christmas problem

JZD 2024

W Internetach piszą, że pierwszy turniej z serii Integration Bee odbył się na MIT w 1981 roku. Redakcja JZD miała wtedy około 10 lat i nie miała pojęcia o całkowaniu, a na pytanie „co to jest różniczka” mogła odpowiedzieć co najwyżej, że to „wyniczek odejmowanka”.

Nasz rodzimy Wielki Turniej Całkowania nie ma tak długiej historii, ale za to ma fantastycznych uczestników, najlepszych kibiców i całkiem niezłą pizzę. Koledzy z MIMu dostarczają też wcale smaczne całeczki do liczenia, a czasem bardziej do zgadywania.

Trzecie zadanie świąteczne to wspomnienie z ostatniego turnieju całkowania. Uprzejmie informuję, że wiem ile to jest, ale nie wiem na razie dlaczego. Do dzieła więc!”

I jak ja to teraz przetłumaczę na angielski? Ten wyniczek odejmowanka…

Here is (almost) how ChatGPT translated the above text. Some parts relay on wordplay – it was not easy and really does not make much sense.

The Internet says that the first Integration Bee took place at MIT in 1981. Back then, the JZD editorial team (is one person a team?) was about 10 years old and had no idea what an integral was. If someone had asked us, “What’s a derivative?” we might have answered, “It’s a tiny result of a tiny subtraction.” (Don’t ask—it made sense to us back then!)

Our homegrown Great Integration Tournament doesn’t have such a long history, but it does have fantastic participants, the best fans, and some pretty good pizza. Our friends at MIM also deliver some tasty integrals—not only to calculate but sometimes just to guess.

The third Christmas challenge is a memory from the last Integration Tournament. I do know what the result is, but for now, I don’t know why. Let’s get to work!

Drugie zadanie świąteczne / Second Christmas problem

JZD 2024

Na początku piewszego roku wszystkie FUWiątka bawią się przez jakiś czas zabawkami zespolonymi. Mnożą przez $i$ , wyprowadzają wzory trygonometryczne używając $e^{i\varphi}$ , rozwiązują równania trzeciego i czwartego stopnia, no i przede wszystkim pierwiastkują na potęgę!

Pierwiastki, zwłaszcza te z $-1$ są dość kłopotliwe, rozłażą się po sali i trudno je potem posprzątać. Czasami też złośliwie układają się w jakieś wzorki. Taki właśnie wzorek powstał spontanicznie na ćwiczeniach gdzieś w połowie października. A skoro już mamy wzorek, to wypadałoby sprawdzić czy jest prawdziwy, czyż nie?

At the beginning of their first year, all the FUW-little-ones have fun playing for a while with complex “toys”. They multiply by $i$ , derive trigonometric formulas using $e^{i\varphi}$ , solve cubic and quartic equations, and, most importantly, take roots to their heart’s content!

Roots, especially those of $-1$ , are quite troublesome—they tend to scatter around the room and are hard to clean up afterwards. Sometimes, they mischievously arrange themselves into some sort of pattern. One such pattern, or rather formula, spontaneously appeared during an exercise session sometime in mid-October. And since we already have the formula, it would only make sense to check whether it’s true, wouldn’t it?

Piewsze zadanie świąteczne / First Christmas problem

JZD 2024

Historia świateczna z elementami dramatu.

Grudzień to dla Świętego Mikołaja bardzo trudny miesiąc. Przed Wgilią wszystko musi być dopięte na ostatni guzik: magazyny pełne prezentów, harmonogramy przygotowane, sanie czyste i sprawne a renifery zdrowe. Święty Mikołaj bywa więc przemęczony i zestresowany. W takich okolicznościach łatwo o pomyłkę. No i stało się! Wychodząc ze spotkania z szefem drużyny Elfów Święty Mikołaj zostawił w jego biurze pierwsze $k$ wektorów swojej ulubionej bazy $(u_1, u_2,\ldots,u_n)$ skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V. Co począć ? Wektory $(u_{k+1},\ldots,u_n)$ nie wystarczą! Panika! Katastrofa!

Na ratunek wezwano kierownika Działu Algebry Liniowej i Geometrii, który zaproponował następujące rozwiązanie. Jutro w podróż do kwatery Elfów wyrusza Skrzat Tensorek, który ze swojej bazy $(w_1, w_2,\ldots,w_n)$ wybierze podzbiór $k$ wektorów w taki sposób , że te $k$ wektorów w połączeniu z $(u_{k+1},\ldots,u_n)$ utworzą bazę, która zostanie w domu Świętego Mikołaja, a po dotarciu do biura szefa Elfów Tensorek uzupełni swoje pozostałe wektory z bazy $w$ o układ $(u_1, u_2,\ldots,u_k)$ i także otrzyma w pełni sprawną bazę przestrzeni $V$ .

Naszym zadaniem jest wykazać, że propozycja kierownika jest dobra, to znaczy, że dla dwóch dowolnych baz $u$ i $w$ zawsze istnieje taki wybór $k$ wektorów $(w_{i_1},\ldots , w_{i_k})$ z bazy $w$ , że oba układy: wybrane wektory z bazy $w$ i ostatnie $n-k$ wektorów z bazy $u$ oraz pozostałe wektory z bazy $w$ i pierwszych $k$ wektorów z bazy $u$ są bazami $V$ .

Chrismas story with a touch of drama.

December is a very difficult month for Santa Claus. Before Christmas Eve, everything must be buttoned up: warehouses full of presents, schedules prepared, the sleigh clean and functional, and the reindeer healthy. Santa Claus is therefore often overworked and stressed. In such circumstances, a mistake can easily happen. And it did! Leaving a meeting with the head of the Elf team, Santa Claus left the first $k$ vectors of his favorite basis $(u_1, u_2,\ldots, u_n)$ of a finite-dimensional vector space $V$ in the office. What to do? The vectors $(u_{k+1},\ldots,u_n)$ are not enough! Panic! Disaster!

To the rescue came the head of the Linear Algebra and Geometry Department, who proposed the following solution. Tomorrow, Elf Tensorek will travel to the Elf headquarters, and from his own basis $(w_1, w_2,\ldots,w_n)$ , he will appropriately select a subset of $k$ vectors in such a way that these vectors, combined with $(u_{k+1},\ldots,u_n)$ , will form a basis that will stay at Santa’s home. Upon reaching the office of the Elf team leader, Tensorek will supplement his remaining vectors from his basis with the set $(u_1, u_2,\ldots,u_k)$ and will also obtain a fully functional basis for the space $V$ .

Our job is to show, that the above solution is sound, i.e. for every two bases $u$ i $w$ there exists a subset of $k$ vectors $(w_{i_1},\ldots , w_{i_k})$ from $w$ , such that both sets of vectors these chosen from $w$ together with last $n-k$ vectors from $u$ as well as the rest of vectors from $w$ together with the first $k$ vectors from $u$ are linearly independent and span the whole $V$ .